Разберем сразу на примере. Так как принципы работы такие же, что и принципы работы с POST-запросами в Delphi (см. статью Пример авторизации на сайте с помощью idHTTP.Post), то и пример возьму тот же, что и в той статье, а именно — авторизация в ЖЖ.
При организации POST-запроса достаточно будет добавить в свойства объекта curl параметр CURLOPT_POST, установленный в 1 (или true) и CURLOPT_POSTFIELDS, значением которого будет строка со значениями переменных в таком виде:
param1=value1¶m2=value2¶m3=value3&...¶mN=valueN